Matematiğin, vektörler, Vektör uzayları, doğrusal dönüşümler, doğrusal denklem takımları ve matrisleri inceleyen alanıdır. Vektör uzayları, Modern Matematiğin merkezinde yer alan bir konudur. Bundan dolayı doğrusal cebir hem soyut cebirde hem de fonksiyonel analizde sıkça kullanılır. Doğrusal cebir, analitik geometri ile de alakalı olup sosyal bilimlerde ve fen bilimlerinde yaygın bir uygulama alanına sahiptir.

 

Modern doğrusal cebirin tarihçesi 1843 ve 1844 yıllarına dayanır. 1843'te William Rowen Hamilton Kuaterniyonları keşfetti. 1844'te Hermann Grassmann Die lineale Ausdehnungslehre isimli kitabını yayınladı. Arthur Cayley, doğrusal cebirin en temel fikirlerinden birisi olan matrisleri 1857 yılında tanıttı. Ne var ki doğrusal cebir, asıl büyük atılımlarını 20. yüzyılda yapmıştır.

 

Temelleri 

Doğrusal Cebir'in temelleri vektörlerin incelenmesinde yatar. Burda sözü edilen vektör, yönü, büyüklüğü ve doğrultusu olan bir doğru parçasıdır. Vektörler, kuvvet gibi fiziksel birimlerin ifade edilmesinde kullanılabilir. Birbirlerine eklenebildikleri gibi sabit bir skalerle de çarpılabilirler. Böylece basit bir reel vektör uzayının oluşumu gösterilebilir.

Modern Doğrusal Cebir, 2 ve 3 boyut sınırlamasını kaldırarak isteğe bağlı veya sonsuz boyutlu uzaylarda işleyebilecek şekilde genişletilmiştir. 2 ve 3 boyutlu uzaylardaki sonuçların büyük bir kısmı n-boyutlu uzaylarda da geçerlidir. N boyutlu bir uzayın görselleştirilmesi zor gibi görünse de aslında bu tür uzaylar temel bilimlerde ve günlük hayatta sık kullanılır. Örneğin 8 ülkenin milli gelirini listelediğimiz zaman bu liste 8 boyutlu bir vektörü ifade eder. (v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆, v₇, v₈). Bu vektördeki herbir elemanın bir ülkenin milli gelirini temsil ettiğini söyleyebiliriz.

Matematikte, probleme doğrusal bir açıdan bakıp, matris cebiriyle ifade ettikten sonra onu matris işlemleriyle çözmek, matematikte sık kullanılan uygulamalardan birisidir. Örneğin doğrusal denklem sistemleri matris yardımıyla ifade edilip çözülerek denklemin kökleri elde edilebilir.

 

Vektörler ve Matrisler

Aşağıda üç boyutlu bir sütun vektörü görülmektedir:

Burada ise 4 boyutlu bir satır vektörünü görmekteyiz:

Son olarak 4 satır ve üç sutundan oluşan bir matris örneğini şöyle gösterebiliriz: