WEBMATEMATİK MATEMATİK SİTENİZ...
  Denklem Kurma Problemleri
 
DENKLEM KURMA PROBLEMLERİ
A.   SAYI KESİR PROBLEMLERİ
Verilen problemin x, y, a, p, n, ... gibi sembollerle ifade edilmesine denklem kurma denir.


Bir x sayısının; a fazlası > x+a

   a eksiği  > x-a
       a katı     > a.x
   1 sı        >  1 X
   a        a

Örnek — 1
Ali, Ayşe ve Mehmet 27700 lirayı paylaşacaklardır. Ali, Mehmet’ten 1000 lira fazla, Ayşe, de Ali’den 1300 lira eksik alacaktır. Buna göre, Mehmet’in payı kaç lira olur?
   A)   8000   B) 9000
   C)   10000   D) 11000
                (1990— FL)


Çözüm

Mehmet:x
Ali        :x+1000
Ayşe     :(x+1000)-1300
   +


Toplam 3x + 700 = 27700

3x = 27000

x   = 9000 olur.

Cevap B



Örnek-2

“İki sayıdan biri diğerinden 8 büyüktür. Büyük sayının 2 katı ile küçük sayının 4 katı toplamı 184 ettiğine göre büyük sayı kaçtır?” Bu problemin çözümünü veren denklem aşağıdakilerden hangisidir?

A)x+2(x+8)=184
B)2x+4(x-8)=184
   C)2x+4(x+8)=184
D)   4x+2(x-8)= 184
(1992— FL)



Çözüm
küçük sayı     Büyük sayı
   x-8     x

Büyük sayının 2 katı > 2x
Küçük sayının 4 katı > 4.(x- Cool dir.
Toplamları; 2x + 4.(x –Cool = 184 olur.

Cevap B
Örnek-3
Bir öğrencinin 140000 lirası vardır. Bu öğrenci 4 kitap, 6 defter alırsa 20000 liraya ihtiyacı olacaktır. Eğer 4 defter, 6 kitap alırsa 20000 lirası artacaktır. Bir defter ile bir ki¬tabın toplam fiyatı kaç liradır?
A) 12000   B) 24000        C) 28000      D) 36000
         (1992— FL)



Çözüm

4 kitap + 6 defter=160.000 lira ve
6 kitap + 4 defter = 120.000 lira
+

10 kitap + 10 defter 280.000
1 kitap + 1 defter = 28.000 lira olur.
   Cevap C

Örnek-4
   3   1
Ali’nin parasının — i, Ayşe’nin parasının — üne eşittir. Ay¬şe, Ali’ye 3000 lira verseydi
                                5                                         3
paraları eşit olacaktı. Ali’nin parası kaç liradır?

A) 5500   B) 7500   0)15000   D) 30000
         (1992— FL)

Çözüm

Ali     Ayşe
a   b    lira olsun.
3a      b    9a
— =   —           b= — tir
5        3            5
a + 3000 = b-3000
               9a
a + 6000 = ——
          5

5a + 30000 = 9a

    30000 = 4a

    a = 7500 lira olur.      Cevap B





Örnek-5
          1                     1
Bir bisikletli gideceği yolun önce — ünü, sonra — ünü,
                                                1         3                   4   
daha sonra ise kalan yolun — ini gidiyor. Bisikletli top-
                               5
1am 24 km yol aldığına göre, gitmesi gereken kaç km yolu kalmıştır?
A)8   B)10   C)12   D)16
         
            (1993-FL)


Çözüm
   1      1       4+3       7
Önce     —  + — = —— = ——
               3      4       12        12

                         1                 12    7       5
Sonra Kalanın — ini, yani  — - — = —
                            5               12    12    12

5       1      1
— x — = —sini daha gider.
12     5     12
                                        7    1      8      2   
Toplam gittiği yol   —+— = — = — ü olur.
            12   12    12     3      

2                                       3      2       1
— ü 24 km ise,kalan yol — -  — = —   tür.
3                                       3      3       3

   
 2   
— ü 24 km ise  24:2=12 km olur.
 3
Cevap C

Örnek-6

Bir köylü kilogram; 95000 liradan 30 kg elma satmıştır. Eline geçen paranın 1 275 000 lirası ile kumaş, kalanı ile de zeytinyağı almıştır. Zeytinyağının bir litresi kaç Ii¬radır?

Bu problemin çözülebilmesi için, aşağıdaki bilgiler¬den hangisinin verilmesi gerekir?

A)   Elmalardan kaç lira kazanıldığı.

B)   Kaç metre kumaş alındığı.

C) Zeytinyağına kaç lira verildiği.

D)   Kaç litre zeytinyağı alındığı.

(1998-ÖO)


Çözüm

30 kg elma > 30 x 95 000 = 2 850 000 lira

2 850 000 - 1 275 000 = 1 575 000 lira kalan para
Köylünün zeytinyağına verdiği toplam para bulunmuş¬tur. Fakat zeytinyağının bir litresinin fiyatının bulunabil¬mesi için, kaç litre zeytinyağı alındığının bilinmesi gerek¬lidir.

Cevap D


B.   YAŞ PROBLEMLERİ

•   Belli bir sene sonra herkes aynı miktarda yaşlanır.

•   İki kişinin yaşları toplamı t yıl sonra 2t artar.

•   Belli bir sene önce herkes aynı miktar daha gençti.

•   Üç kişinin yaşları toplamı t yıl önce 3t daha azdır.

•   İki kişinin arasındaki yaş farkı zamanla değişmez.


Örnek-7

Anne ile 3 çocuğunun yaşları toplamı 61 dir. 3 yıl sonra annenin yaşı, çocuklarının yaşları toplamının 2 katının 2 eksiği olacaktır. Annenin şimdiki yaşı kaçtır?
A)40   B)45   C)50   D)55
   (1996— ATML)
Çözüm
   Anne   3 çocuk
Şimdiki yaşları:    x    61-x
3 yıl sonraki yaşları:   x + 3   61-x + 9
x+3=2.(70-x)-2 dir.
x+3=140-2x-2
3x= 135 ise
x=45 olur.
          Cevap B

Örnek-8

Bir çocuk 9, annesi 42 yaşındadır. Kaç yıl sonra yaşları
                 3
farkının, yaşları toplamına oranı — olur?
                 7
A)9   8)11   C)13   D)15
   (1997 — FL/AOL)

Çözüm
      Çocuk     Annesi
Bugünkü yaşları       9         42
x yıl sonraki yaşları    9 + x         42 + x
   Yaşları farkı             42+x—9 x 3
——————— = ———————
Yaşları toplamı             42+x+9±x 7

   33 11         3    1
——— =  ——            77 = 51 + 2X
51+2X         7
      2X = 26
                                    X= 13 olur.
Cevap C


C.   İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ

•   Birim zamanda yapılan iş veya dolan havuz üzerinden işlem yapılır.

•   Bir işin tamamı (işçi sayısı sabit tutularak) a saatte bitiyorsa, 1 saatte bu işin sı biter.

(Havuz problem¬leri içinde benzer bir mantık kullanılır.)
•   Bir işin tamamını 1. işçi a. Il. işçi b saatte, ikisi birlikte x saatte bitirebiliyorlarsa;

                                                                    1     1      1
    —.+ — = —  tır.
                          a     b      x


•   Dolduran musluk için (+), boşaltan musluk için ise (—) işareti kullanılır.

•   Bir işi üç işçi sırasıyla a, b, e günde yapabilmektedir. Üçü birlikte t gün çalıştıktan sonra 1. işçi işi bırakıyor. Kalan işi diğer işçiler x günde tamamlıyor.

Bu durumda;


             1      1      1                   1      1
        t.  — + — + —     + X .    — + —    =   1 dir
             a      b       c                   b      c


Bu mantık genişletilerek diğer soru tiplerine uyarlanabilir.

Örnek-9
                                          5
Birinci musluk boş bir havuzun 6 günde tamamını, ikinci musluk 1 günde — sini dolduruyor.
                                         12
Üçüncü bir musluk da dolu olan bu havuzu 3 günde boşaltıyor. Bu üç mus¬luk aynı anda açılırsa boş olan bu havuz kaç günde dolar?

A)1   B)2   C)3   D)4
         (1991 —FL)




Çözüm
 1      1      1      1
— + — - — = —
 a      b      c       x

 1      5      1      1
— + — - — = —
 6      12    3      x

2 + 5 – 4         1
————  =  —
12   x
 3      1
— = —   ise, X=4 olur.
12     X
   Cevap D



D.   HAREKET PROBLEMLERİ

•   x = Yol, v = Hız, t = Zaman olmak üzere;

      x            x
x=v .t ,    v= —    ,  t= —
                                      t             v



Örnek-10

A şehrinden B şehrine aynı anda hareket eden iki oto¬büsün saatteki ortalama hızları 80 km ve 90 km dir. Hı¬zı fazla olan otobüs, diğerinden 10 dakika önce 8 şeh¬rine vardığına göre, iki şehir arası kaç km dir?
A)100   B)120   C)130   D)150
         (1990— FL)



Çözüm
            10
10 dakika= — saattir.
   60


Yol = Hız X Zaman   idi

IABI=90.t ve

      10
IABI = 80. (t + —) dır.
      60

Alınan yollar eşit olduğundan,
                         1
90 . t = 80 . (t+ —)
          6
        8
9t = 8t + —
       6
4
t — saattir. Buradan,
3
     4
ABİ = 90. —
        3

ABİ 120 km olur.
Cevap B


Örnek-11
Aralarında 400 km bulunan iki hareketli aynı anda birbir¬lerine doğru hareket ediyorlar. Hareketlilerden birinin hı¬zı saatte 60 km olduğuna ve 4 saat sonra karşılaştıklarına göre, diğer hareketlinin saatteki hızı kaç km dir?
A)70   B)60   C)50   D)40

Çözüm

400 = (60 + V2) . 4

100 = 60 + V2

40 = V2 olur.
   Cevap D
Örnek-12

“Saatte ortalama 80 km hızla giden bir otobüs, kendisin¬den 120 km önde ve saatte ortalama 60 km hızla aynı yöne giden bir kamyona kaç saat sonra yetişir?” Proble¬minin çözümünü veren denklem aşağıdakilerden hangisidir?

        1        1
A) —— + — =120
      80X   60X

B) 80x-60x= 120

C) 80x + 60x = 120

       1          1
D) —— - —— =120
     180X    60X
(1993— FL)
Çözüm

Otobüs kamyona x saatte yetişir.
x saat sonra otobüs 80x kamyon ise 60x yol alır.
Bu yol farkı ise 120 km dir. Problem çözümünü veren denklem,
80x - 60x= 120 olur.
   Cevap B

Örnek-13
A şehrinden B şehrine gitmek için, aynı anda yola çıkan iki otobüsün birinin saatteki ortalama hızı 80 km, diğeri¬ninki 110 km dir. Hızlı giden otobüs B ye 3 saat önce vardığına göre, iki şehir arası kaç km dir?
A)1210   B)1000   C)880   D)720
   (1995-FL/AOL)

Çözüm
İki aracında aldığı yollar eşit olduğundan;
80. t= 110. (t - 3)
5t = 11 (t - 3)
8t = 11t - 33
33 = 3t
t = 11 saat
x = 80 . t                 x=80.11 ise, x=880 km olur.    Cevap C


Örnek
Bir nehirde 180 km lik bir yolu, motor; akıntının etkisiyle
18 saatte gidip, 30 saatte dönüyor. Bu motorun kendi
hızı saatte kaç km dir?
A)6   B)8   C)10   D)12


Çözüm
            180
   VA+VK= ——   =10
                       18

                  180
   VK-VA= —— =6
                    30
+

2 . VK = 16 ise
     VK = 8 km
   Cevap B


E.   YÜZDE PROBLEMLERİ

1.   Basit Yüzde Problemleri

Bu problem tipindeki soruları yaparken aşağıdaki tablo¬da verilen bilgileri bilmek sizlere kolaylık sağlayacaktır.

                  a
   %a= —— dür.
                100
                     a
Bir sayının % a sı = X.—— dür.
                   100
                    100+a
Bir sayının % a artırılmış hali = X .  ———     dür
           100

             100-a
Bir sayının % a azaltılmış hali = X.   ———    dür
                                                             100


2.   Kar - Zarar Problemleri

Bu tip sorularda, aşağıdaki tabloda verilen bilgiler kolaylık sağlayacaktır.
   Maliyet    % 20 kar    % 20 karlı satış
    100                 20                         120
   Maliyet   % 20 indirim   % 20 indirimli satış
    100                               20                           80
Örnek

% 32 indirimle 17 000 liraya satılan bir ayakkabının, indirimden önceki fiyatı kaç liradır?
   A)   20 000   B) 22 000
   0)   25 000   D) 27 000
                (1990— FL)
Çözüm

% 100-%32 = %68 (% 32 indirimli)


%68  i    l7000 lira ise
%100 ü    x liradır.

x=17000. 100
      68
x = 25.000 liradır.
   Cevap C

Örnek
   1
Bir malın— ü  % 25, geri kalanı da % 30 karla satılıyor.
                3
Eğer malın tamamı % 35 karla satılsaydı 200 000 lira daha fazla kar edilmiş olacaktı. Bu malın mal oluş fiyatı kaç liradır?
A)   3000000   B)   6000000
C)   8000000   D)   10000000
(1993— FL)
Çözüm

Malın tamamı x olsun;

   x        125       2x       130         135
   ——. —   — + —— . ——    = x. —— - 200000
   3       100       3       100     100
125x+260x      135x
—————    - ——   =  -200 000
   300                   100
                       (3)
   385x - 405x
————— = -200000            - 20x = -60000000
   300

       x = 3000000 lira olur.        Cevap A


   
Örnek   
Bir kırtasiyeci kalemlerin tanesini a liradan satarsa top¬lam b lira zarar, c liradan satarsa toplam d lira kar ede¬cektir. Buna göre, aşağıdaki işlemlerden hangisi yapı¬lırsa kalem sayısı bulunur?
      b+d                        c+a                    b      d                        d     b
A) ——                 B) ——       C) — + —        D)  — - —
      c-d                         b-d                    c       a                        a     c
                  (1994— FL)
Çözüm

Kalem sayısı: x

Maliyet: y lira olsun

x. a = y - b
x. c = y + d   
————————        Taraf tarafa çıkarma işlemi yapalım.
(x.a - x.c) = - b - d
x(a - c) = - b - d
x(c - a) = b + d

  b+d
   x= ——olur.
  c-a
   Cevap A
Örnek
Bir mal %20 karla 36000 liraya, başka bir mal da % 20 za¬rarla 36000 liraya satılıyor. Satıcının iki malın satışı so¬nundaki kar - zarar durumu aşağıdakilerden hangisidir?
   A)   3000 lira kar   B) 3000 lira zarar
   0)   1500 lira kar   D) 1500 lira zarar
   (1995— DPY)
Çözüm
    120
A .—— = 36000 ise, A = 30000 dir.
      100
   36000-30000= 6000 lira kar
        80
B . —— = 36000 ise, B = 45000 dir.
       100
        45000- 36000 = 9000 lira zarar.

              Toplam = 9000 - 6000
                           = 3000 lira zarar olur.
                                       Cevap B
   3.   Faiz Problemleri
F:Faiz
A:   Ana para (kapital, sermaye)
n :Faiz yüzdesi (faiz fiyatı)
t  :Zaman olmak üzere,

 A.n.t
   Yıllık faiz > F= ——
 100
              A.n.t
   Aylık faiz > F= ———
     12.100
      A.n.t
Haftalık faiz > F=———
                     52.100

                               A.n.t
Günlük faiz > F=  ————
        360.100

Örnek

Bankaya yatırılan 400 000 lira paranın 6 yılda getirdi¬ği faizi, aynı faiz yüzdesi ile 600 000 lira kaç yılda ge¬tirir?
A)1   B)2   0)3   D)4
         (1992— EL)
Çözüm

   A.n.t
F= ———__ formülünden
        100
     
      400000 . 6 .t      600000.n.t
F= ————— = —————
           100                   100

2 400 000 = 600 000.n
                     n = 4 yıl olur.
                                       Cevap D
   4.   Karışım Problemleri
                            Saf madde miktarı
Karışım oranı = —————————
                            Tüm karışım miktarı
Örnek

100 kg şekerli suyun % 40 ı şekerdir. Bu şekerli suya kaç kg su katalım ki karışımın şeker oranı % 20 ol¬sun?

A)50   8)100   0)150   D)200
         (1992— EL)




Çözüm
           40
100 . —— = 40 kg şeker
        100
                            Saf madde miktarı
Karışım oranı = ————————— formülünden
                            Tüm karışım miktarı
  20           40
—— = ————   ise              x = 100 kg olur.         Cevap B
 100       100+X
HARFLİ İFADELER
A.   HARFLİ İFADELER

5a, x3, 3r, 2(a - b), x + y - z gibi ifadelere harfli ifadeler denir.

•   3x2y ifadesinde 3 e kat sayı denir.

•   Harfli ifadelerde, eksi (-) veya artı (+) işaretleriyle birbirinden ayrılan kısımlara terim denir.

•   Harfleri ve harflerin kuvvetleri aynı olan terimlere benzer terimler denir.

1.   Benzer Terimlerle Toplama ve Çıkarma İşlemi

Harfli ifadeler toplanırken, benzer terimlerin kat sayıları toplanır. Bulunmuş olan toplamın yanına benzer teri çarpan olarak yazılır.

Örnek

•   4x+3x=(4+3).x = 7x

•   5x2 +9x2 - 8x2=(5+9-8) .x2 = 6x2
         1         5            1       5              6
•   — x + — x =    —  + —    x  = — x  = 2x
      3         3            3       3              3


2.   Harfli İfadelerle Çarpma İşlemi

Üslü sayılarda gördüğümüz tabanları ayni olan üslü sayıların çarpımı kuralını bu bölümde de kullanacağı; Yani;


(a . xn) . (b . xm) = a . b . xn+m  dir.


Örnek
•   a . a . a = a1+1+1 = a3

•   x3 . x7 . x2 = x3+7+2 = x12

•   (3a3. b) . (-2. a. b2) -3. ( 2). a3+1 . b1+2 = -6a4 . b3

şeklinde olur. Şayet çarpma işlemi iki tane çok terimliden oluşuyorsa bu çok çok terimlilerde çarpma işlem çarpmanın toplama işlemi üzerine dağılma özeliği kullanılarak yapılır.


Örnek

•   3a.(a+2)=(3a.a)+(3a.2) = 3a2+6a



3.   Harfli İfadelerde Bölme İşlemi

Üslü sayılarda gördüğümüz tabanları aynı olan üslü sayıların bölümü kuralını bu bölümde de kullanacağız Yani;

a . xn     a
—— = — . xn-m   ‘dir.
b . xm    b


Örnek

  X3
—— = X3-1 = X2
  X

4.   Harfli Bir İfadenin Sayısal Değerini Bulma

Harfli bir ifadenin verilen bir sayıya göre değerini bul¬mak için, ifadede harfin yerine sayı yazılarak işlem ya¬pılır.

Örnek

•   x = 2 için x2 + 4x + 2 nin değerini bulalım:

x2+ 4x + 2 ifadesinde x yerine 2 sayısını yazarsak;

    22 + 4.2 + 2 = 4 + 8 + 2 = 14 olur.
.

5.   Harfli ifadelerin Derecesi

Tek terimli harfli ifadenin derecesi, içinde bulunan bir harfin üssüne ya da terimin bütün harflerinin üslerinin toplamına göre söylenir.

Örnek

5x7 . y2 ifadesi;
•   x e göre 7. derecedendir.
•   y e göre 2. derecedendir.
•   Tüm harflerine göre 9. derecedendir. (7 + 2 = 9)

Örnek
2x2 .(3x - 4) ifadesi;

2x2.3x - 2x2. 4 = 6x3 - 8x2 dir. Buna göre bu harfli ifadenin derecesi en yüksek dereceli olan ifadenin derecesidir Yanı 3 tur
 
   
 
=> Sen de ücretsiz bir internet sitesi kurmak ister misin? O zaman burayı tıkla! <=