Sayılar kuramının temel belitlerini (aksiyom) yazayım:
a', a nın ardılı olmak üzere,
T1. a+0=a
T2. (a+b)'=a+b'
T3. a+b=0 olacak şekilde en az bir b vardır ve b=-a tektir.
T4. a+b=b+a

Ç1. a1=a
Ç2. ab'=ab+a
Ç3. ab=1 olacak şekilde en az bir b vardır ve ${\displaystyle b=a^{-1}}$ tektir.
Ç4. ab=ba

D. a(b+c)=(b+c)a=ab+bc

Ç3 bize -1 diye bir sayının varlığını söylüyor.
Sav 1. a(-1)=-a
Kanıt.
0=a0=a(1-1)=a1+a(-1)=a+a(-1)
T3e göre a(-1) burada o tek eleman oluyor, yani -a ya eşit oluyor.

O halde bizim sadece -1 ile -1 in çarpımının 1 olduğunu göstermemiz yeterli olacaktır.

Sav 2. (-1)(-1)=1
Kanıt.
0=(-1)0=(-1)(1-1)=(-1)(1)+(-1)(-1)=(-1)+(-1)(-1)
T3e göre 0=(-1)+(-1)(-1) eşitliğinden (-1) ile toplanınca 0 olan tek bir sayı vardır o da 1 dir. Bu durumda (-1)(-1)=1. QED